Tycho Brahe
Kepler'den önce Alman İmparatorluğunun astroloğuydu ve o güne kadarki en iyi
gök haritalarını hazırlamıştı. Barahe'nin kalfası olan Kepler Brahe'nin
ölümünden sonra bu haritaları inceleyerek, Brahe'in gezegenlerin konumları ile
tutmuş olduğu kayıtların görece basit olan üç adet matematiksel ifade ile
açıklanabileceğini bulmuştur.
Kepler yasaları,
Aristocu ve Batlamyusçu astronomi ve fiziğe meydan okumuştur. Batlamyus
modelinden tamamen farklı olarak, gezegenlerin değişken hızlarının, tüm
gezegenlerin güneş çevresindeki eliptik yörüngelerde dolandığını iddia ederek
doğrulukla açıklanabileceğini söylemiş, astronomi ve fiziği kökten değiştirmiştir.
Hemen hemen bir asır sonra Isaac Newton, kendi hareket yasalarından ve yine
kendi bulduğu evrensel çekim yasasından yola çıkıp, Öklid geometisini kullanılarak
Kepler yasalarının ortaya çıkarılabileceğini göstermiştir.
Günümüzde Kepler
yasaları yapay uyduların ve Kepler'in bile habersiz olduğu güneş yörüngesinde
dolanan kimi cisimlerin (uzak gezegenler ve küçük astroidler gibi) yaklaşık
yörüngelerini hesaplamakta kullanılmaktadır. Bu yasalar, atmosfer sürtünmesi,
görelilik ve diğer cisimlerin etkisi göz önünde bulundurulmadığında, göreli
olarak küçük cisimlerin daha büyük ve daha kütleli cisimler etrafında yaptığı
hareketleri açıklamada oldukça kullanışlıdır.
Şekil-1: İki gezegensel yörünge ile Kepler'in üç
yasasının tanımlanması
Kepler Yasaları
Kepler yasaları
birbiri etrafında dönen herhangi iki cismin hareketini açıklar.Bu cisimlerin
kütleleri, yaklaşık olarak birbirine eşit (örn. Charon ve Plüton, ~1/10), birbirinden
az miktarda farklı (örn. Ay ve Dünya, ~1/100) veya birbirinden çok farklı (örn.
Merkür ve Güneş, ~1/10 000 000) olabilir. Tüm durumlarda her iki cisim de ortak
bir kütle merkezi noktası etrafında dolanır ve hiçbirinin de kendi kütle
merkezi elipsin odaklarından birinde bulunmaz. Buna rağmen her iki yörünge de,
odaklarından biri sistemin kütle merkezinde olmak üzere, bir elips şeklindedir.
Kepler bu yasaları,
sadece Güneş'e ve gezegenlere uyguladığından burada da yasalar sadece Güneş'e
ve gezegenlere uygulanabilirliği bağlamında ele alınmıştır.
Birinci Yasa
‘Her
gezegen, odak noktalarının birinde güneşin bulunduğu bir elips yörünge üzerinde
hareket eder’.
Önceki inanışa göre yörüngeler mükemmel çemberler üzerinde
bulunmalıydı. Bu gözlem evrenin Kopernikçi görüşünü desteklemekteydi. Kepler'in
hesaplamaları yörüngelerin eliptik olduğunu göstermiş, Güneş'e çok daha uzak
göksel cisimlerin yörüngelerinin de büyük dışmerkezliliğe sahip eliptik
yörüngeler olacağını öngörmüştür. (Şekil-2a)
İkinci
Yasa
‘Bir
gezegeni güneşe bağlayan çizgi eşit zaman aralıklarında eşit alanlar tarar’.
Sembolik olarak:
d/dt (½ r2q) = 0
Burada ½ r2q
ifadesi "alansal hız"'ı (birim zamanda taranan alan) ifade eder. Matematiksel
olarak bu ifadenin zamana göre türevinin sıfır olması, gezegen tarafından birim
zamanda taranan alanın sabit olduğu anlamına gelmektedir. Bu yasa eşit alanlar
yasası olarak da bilinir.(Şekil-2b)
Kepler'in ikinci yasası, birinci yasasının üzerine eklenen
bir gerçeği daha ifade etmektedir. İkinci yasa, birinci yasaya göre eliptik
yörüngede dolanan gezegene etkiyen net teğet kuvvetin sıfır olması gerektiğini
söylemektedir. 'Alansal hız' adı verilen nicelik açısal momentum ile çok
yakından ilişkilidir ve bu sebepten ötürü Kepler'in ikinci yasası açısal
momentumun korunumunun da bir ifadesidir.
Şekil-2: (a) Kepler'in birinci yasası, güneşi eliptik yörüngenin
merkezlerinden birine koyar, (b) Gezegen Güneş'in yakınında daha hızlı hareket
eder, böylece uzakta bulunup yavaş hareket ettiği durumlarda taradığı alan ile
aynı miktarda alan taranmış olur.
Üçüncü
Yasa
‘Bir
gezegenin yörüngesel periyodunun karesi, dolandığı elipsin ana eksen uzunluğunun
küpü ile doğru orantılıdır’.
Güneşten uzak gezegenler, daha yakın olanlara kıyasla daha
uzun yörünge periyotlarına sahiptir. Kepler'in üçüncü yasası bu gerçeği
niceliksel olarak açıklar.
Sembolik olarak:
P2 µ a3
P gezegenin yörüngesel periyodu ve a yörüngenin ana eksenidir. Orantı sabiti güneş çevresinde
dolanan tüm gezegenler için aynıdır.
P2gezegen
/ a3gezegen = P2dünya
/ a3dünya = C
C = 2.97473 10-19 s2.m-3 (MKS sisteminde, son ölçümlere göre)
Örneğin, bir A gezegeninin güneşe olan uzaklığının B gezegeninin
güneşe olan uzaklığından dört kat daha büyük olduğunu düşünelim. Yasaya göre,
toplamda A gezegeninin yörüngeyi tamamıyla dolanması için geçen süre, B
gezegeninin yörüngeyi dolanması için geçen süreden 4×2=8 kat daha büyük
olacaktır (82=43).
Sıfır
Dışmerkezlilik
Kepler yasaları Kopernik modelini
mükemmelleştirir. Eğer bir gezegensel yörüngenin dışmerkezliliği sıfırsa Kepler
yasaları aşağıdaki şekli alır:
1.
Güneş merkezde
olacak şekilde gezegensel yörünge çemberseldir.
2.
Gezegenin yörünge
hızı sabittir.
3.
Gezegenin yörüngesel
periyodunun karesi, güneşe olan uzaklığının kübü ile orantılıdır.
Gerçekten de Kopernik ve Kepler tarafından
bilinen altı gezegenin dışmerkezlilikleri oldukça küçüktür, bu nedenle bu
gezegenler için Kepler yasalarını yukarıdaki şekilde almak, bu gezegenlerin
hareketi için mükemmel yaklaşıklıklar sağlar.
O zamanlar düzgün çembersel hareketin normal olduğu
düşünüldüğünden, bu hareketten herhangi bir sapma bir anormallik olarak
görülüyordu. Kepler'in Kopernik modeli üzerine yaptığı düzeltmeler açıkça belli
olmuyordu:
1.
Gezegensel
hareketler bir çember şeklinde değil,
bir elips şeklindedir
ve güneş yörüngenin merkezinde değil, odak noktalarından birindedir.
2.
Yörüngede dolanan
bir gezegenin ne hızı ne de açısal hızı sabittir, sabit olan alansal hızdır.
3.
Bir gezegenin
yörüngesel periyodunun karesi, gezegenin güneşe olan en küçük ve en büyük uzaklıklarının
ortalamasının kübü ile orantılıdır.
Mart ekinoksundan Eylül ekinoksuna kadar
olan süre yaklaşık 186 gün iken, Eylül ekinoksundan Mart ekinoksuna kadar olan
süre yaklaşık 179 gündür. Bu temel gözlem Kepler'in yasalarını kullanarak
gösteriyor ki dünya yörüngesinin dışmerkezliliği sıfır değildir. Bir çap
doğrusu yörüngeyi alanları eşit iki kısma ayırırken, ekvator düzlemi ile
ekliptik düzlemi arasındaki kesişim, yörüngeyi alanları oranı 186/189 olacak
şekilde iki kısma ayırır. Böylece dünya yörüngesinin dışmerkezliliği yaklaşık
olarak,
p 186 – 179
e » ¾
¾¾¾¾¾ =
0.015 bulunur
4 186 + 179
Bu değer ölçülen gerçek değere oldukça
yakındır.
Sıfır
Olmayan Gezegensel Kütle
Kepler yasalarına uygun şekilde hareket eden
bir gezegenin ivmesinin güneşe yönelmiş olduğu ve ivmenin büyüklüğünün güneşe
olan uzaklığın karesi ile ters orantılı olduğu gösterilebilir. Isaac Newton
evrende bulunan tüm kütlelerin, kütleçekim kuvveti olarak tanımladığı bir
kuvvet ile birbirini çektiğini varsaymıştır. Gezegenlerin kütlesi güneşe
kıyasla çok küçük olduğundan, yörüngeler yaklaşık olarak Kepler yasalarına
uyumludur. Newton'ın modeli Kepler yasalarını geliştirerek, gözlemlere daha
uygun sonuçlar elde edilmesini sağlar.
Gezegenlerin oluşturduğu çekim nedeni ile
Kepler yasalarından sapmalar pertürbasyon (ing. perturbation) olarak
adlandırılır.
Kepler'in üçüncü yasasındaki orantı
sabitinin yörüngede dolanan cisimlerin kütlelerine bağımlılığı aşağıdaki
ifadedeki gibidir:
(P / 2p)2 = a3
/ G (M + m)
Burada P yörüngeyi dolanmak için geçen zaman
(periyot), P/2p radyan başına zamandır. G kütle çekim sabiti, M
güneşin kütlesi ve m gezegenin kütlesidir. Eşitlikten görüleceği üzere,
gezegenin kütlesi güneşin kütlesi yanında ihmal edilebilecek kadar küçük
olduğunda, Kepler sabitinde gezegenin kütlesi nedeni ile meydana gelen değişim
yok sayılabilir. Örnek olarak Kepler sabitinde, Güneş Sistemindeki en büyük
kütleli gezegen olan Jupiter'in kütlesinden kaynaklanan tutarsızlık bile yüzde
10 kadardır.
28 Temmuz 2019
GERİ
(yasalar)
GERİ
(gravitasyon ve görelilik)
GERİ (klasik yasalar)
