Euler–Lagrange Eşitlikleri (Euler–Lagrange equations)

Euler-Lagrange denklemi (1750'ler) Euler ve Lagrange tarafından tautochrone problemi çalışmaları ile bağlantılı olarak geliştirilmiştir. Bu, ağırlıklı bir parçacığın başlangıç ​​noktasından bağımsız olarak sabit bir sürede sabit bir noktaya düşeceği bir eğri belirleme problemidir.

Euler Denklemleri
Fonksiyonellerin optimizasyonu fizik ve matematiğin belki de en temel konusudur;
bu bazen,
“J [¦ (x)] fonksiyonelinin optimizasyonu bize ne verir ?”
bazen de,
“Doğa yasaları nasıl bir J [¦ (x)] fonksiyonelinin optimizasyonu sonucu ortaya çıkmış olabilir ? ”
biçiminde incelenir.
Önce Brachistochrone benzeri kinematik problemlerde, sonra klasik mekaniğin  “Eylem”  fonksiyoneli ile formüle edilmesinde kullanılan bu metot, geometrik optiğin Fermat ilkesinden, kuantum mekaniğinin yörünge integrali formalizmine kadar vazgeçilmez bir yaklaşım olarak değerini arttırmıştır.
Fonksiyonel optimizasyonu için, aynen fonksiyonlarda kullanılan mantıkla ¦ (x) biraz değiştirilerek,
olması istenir. Bazen de,
olarak ifade edilen bu teknik  “Varyasyon hesabı” olarak adlandırılır. Çok genel bir konu olan varyasyon hesabının sadece aşağıdaki özel hali üzerinde durulacaktır. 
Uç noktalarda,
sağlayan bir varyasyon kullanılarak gerçekleştirilen,
ve dolayısıyla,
dönüşümleri altında dJ = 0 ifadesi:
biçimini alır.
olarak yazılarak,
sonucuna ulaşılır. İkinci terimin kısmi integrali alınarak,
biçiminde açılması sonucu elde edilen,
eşitliği tüm h fonksiyonları için geçerli olduğundan Euler denklemi olarak adlandırılan,
eşitliğine ulaşılır.  Bu denklem veya onun çok bağımsız fonksiyonlu biçimi olan,
varyasyon hesabının temelini oluşturur.
Euler – Lagrange Denklemleri
Klasik mekaniğin temelini oluşturan bu ilke tek boyutta,
veya çok parçacıklı ve 3-Boyutlu sistemlerde, genelleştirilmiş koordinatlar ve hızlar cinsinden,
Euler-Lagrange denklemlerine yol açar. Bu denklemlerin temelinde DS <<< S oluşu yattığına göre, zaten S = ħ olan atomik sistemlerde Hamilton ilkesi ve dolayısıyla klasik mekanik geçerli olamaz
11 Ağustos 2019

GERİ (yasalar)
GERİ (klasik mekanik)
GERİ (matematik metotlar)