I. Optimizasyon
A) Fonksiyon Optimizasyonu: Türev
B) Kısıtlar ve Lagrange Çarpanları
C) Fonksiyonel Optimizasyonu: Euler Denklemleri
D) Hamilton Yaklaşımı
II.
Uzay – Zamanda Evrim
A) Lagrange Fonksiyonu
B) Eylem Fonksiyoneli
C) Euler – Lagrange Denklemleri
D) Hamilton Denklemleri
E) Hamilton –
Jacobi Denklemleri
I. Optimizasyon
A) Fonksiyon Optimizasyonu: Türev
Verilen bir sayı için, belli bir
kurala göre başka bir sayı üretmenin “Fonksiyon” olarak adlandırıldığı
görülmüştü. Verilen bir fonksiyon için, gene belli bir kurala göre bir sayı
üretmek ise “Fonksiyonel” olarak adlandırılacaktır. Çok değişkenli fonksiyonlar
olduğu gibi çok fonksiyonlu fonksiyoneller de vardır. Özetle:
Bir fonksiyonu optimize etmek, yani
minimum ve maksimum değerlerini bulmak için türevini sıfıra eşitlemek, üzerinde
fazla düşünülmeden uygulanan bir işlemdir. Daha derin bir yaklaşım bizi
optimizasyonun yerel bir simetri işlemi olduğu gerçeğine götürür. Simetri,
genel anlamıyla, bazı şeyleri değiştirdiğimiz halde her şeyin aynı kalmasıdır.
Belli bir noktadan çok küçük bir miktarda uzaklaşınca fonksiyon değerinin
değişmemesi ise ‘Yerel Simetri’ olarak
yorumlanabilir. Yani;
olma şartının altında işte bu
simetri ilkesi yatmaktadır. Doğal olarak uç noktaları da kontrol etmek gerekir;
mesela,
gibi lineer bir fonksiyonun türevi
sıfır olmaz ve optimum noktalar uçlarda yer alır. Bu olgunun çok daha genel hali “Lineer
programlama” konusunu oluşturur.
B)
Kısıtlar ve Lagrange Çarpanları
¦ (xi) fonksiyonunun F (xi)
= 0 kısıtları altında nasıl optimize edileceği de ilginç bir
konudur. Bu durumda yeni, ancak sayısal
olarak ¦ (xi) ’den farklı olmayan bir fonksiyon, Lagrange çarpanları
olarak adlandırılan {ln} ’lar aracılığıyla,
olarak tanımlanır ve,
olması istenir.
Bir örnek olarak ℓ uzunluğunda bir
çitle çevrilecek maximum dikdörtgen alan problemine standart yaklaşım: alanı,
çözümünü elde etmektir. Yeni
yaklaşımda ise,
kısıtı altında maksimum değerini bulmak için,
denklemlerinden yine aşağıdaki eşitlikler bulunur:
Fonksiyonellerin optimizasyonu ise
fizik ve matematiğin belki de en temel konusudur;
bu bazen,
“J [¦ (x)] fonksiyonelinin optimizasyonu bize ne verir ?”
bazen de,
“Doğa yasaları nasıl bir
J [¦ (x)] fonksiyonelinin optimizasyonu sonucu ortaya çıkmış
olabilir ? ”
biçiminde incelenir.
Önce Brachistochrone benzeri
kinematik problemlerde, sonra klasik mekaniğin
“Eylem” fonksiyoneli ile formüle
edilmesinde kullanılan bu metot, geometrik optiğin Fermat ilkesinden, kuantum
mekaniğinin yörünge integrali formalizmine kadar vazgeçilmez bir yaklaşım
olarak değerini arttırmıştır.
Fonksiyonel optimizasyonu için,
aynen fonksiyonlarda kullanılan mantıkla ¦ (x) biraz değiştirilerek,
olması istenir. Bazen de,
D)
Hamilton Yaklaşımı
integralinin optimum olma şartının,
¦ fonksiyonunun x’e doğrudan bağlı olmayıp, sadece ¦(y, y') olduğu özel durumlarda çok yararlı bir metot olan Hamilton
yaklaşımında,
tanımından yola çıkılır. x’e göre
türev sonucu:
bulunur, ancak,
olarak da ifade edilen bu denklem
yararlı ve kullanışlı bir korunum yasasıdır.
II.
Uzay – Zamanda Evrim
A) Lagrange Fonksiyonu
Genelde [k, w] = 0 olmadığı için iki
işlemin tek bir üstel fonksiyon olarak birleştirilmesi ancak sonsuz küçük yerel
ötelemeler için geçerlidir.
Bu denklem sağdan Iy> ket’i ile çarpılınca y(x,t) fonksiyonunun uzay-zaman’da yerel evrimi elde edilir. y(xn,tn) başlangıç noktasından, herhangi bir y(x,t) noktasına global
bir evrim için [x0, x] ve [t0, t] aralıkları N parçaya bölünür ve,
gelişimi incelenir. Bu işlem dizisine geçmeden önce kuantum
aksiyomları,
kullanılarak formalizme fiziksel bir
içerik kazandırmak yerinde olacaktır. kV – w ifadesi, Lagrange fonksiyonu
olarak adlandırılan L º p V - H cinsinden,
olarak yazılırsa, yeterince küçük Dt ’ler için:
elde edilir. Bu noktada,
limitleri alınarak, global evrim
operatörü için:
Riemann integraline erişilir.
B)
Eylem Fonksiyoneli
integrali “Eylem” fonksiyoneli
olarak adlandırılır ve S ile gösterilir. Böylece S, Lagrange fonksiyonunun
fonksiyoneli, ama t0 ve t değerlerinin fonksiyonu olmaktadır.
ifadesinde yer alan ħ Planck sabitinin, kaynağını insan ölçeğinden alan MKS sisteminde
10-34 gibi çok, çok küçük bir sayı oluşu önemlidir. S fonksiyonelinde DS = p ħ kadar çok küçük bir oynamanın,
C)
Euler – Lagrange Denklemleri
Klasik mekaniğin temelini oluşturan
bu ilke tek boyutta,
veya çok parçacıklı ve 3-Boyutlu
sistemlerde, genelleştirilmiş koordinatlar ve hızlar cinsinden,
Euler-Lagrange denklemlerine yol
açar. Bu denklemlerin temelinde DS <<< S oluşu yattığına göre, zaten S = ħ olan atomik sistemlerde Hamilton ilkesi ve dolayısıyla klasik
mekanik geçerli olamaz.
D)
Hamilton Denklemleri
Aynı yaklaşımı 1-Boyutta klasik mekaniğe uygulamak için,
olarak yazılan Hamilton
fonksiyonunun, v değişkeninin p kullanılarak
yok edilmesi sonucu H(x,p) olması
istenir. Hamilton fonksiyonunun zamana bağlılığı konusunda,
olur ve Lagrange fonksiyonunun
zamana doğrudan bağlı olmadığı durumlarda H
= sabit korunum yasasına erişilir. Yine,
Lagrange denklemlerine eşdeğer olan
Hamilton denklemleri elde edilir.
1-Boyutta ve tek parçacık için
oluşturulan bu çok basit sonuçlar, gerçek hayatta 3-Boyutta N parçacıktan oluşan ve K kısıtlaması olan sistemler için J = 1, 2, …, 3N – K olmak üzere qi genelleştirilmiş ve
bağımsız koordinatlar, hızlar ve momentumlar cinsinden,
denklemlerine genelleşir.
E) Hamilton – Jacobi Denklemleri
bulunur. Öte yandan,
için tamamen matematiksel bir
yaklaşım ise,
vermektedir. Bu iki denklemin
karşılaştırılmasından,
elde edilir. 1-Boyutta harmonik
osilatör problemi bu yaklaşımla,
olur. Üstel bir ifadede yer alacak S(x, t) fonksiyonu içeren bir Kısmi DD
’in çözümünde değişkenlerin ayrıştırılması metodu kullanırken çözümü bir çarpım
olarak varsaymak doğru olmaz.
daha doğru bir yaklaşımdır ve sol
yanı sadece zamana, sağ yanı ise sadece uzaya bağlı,
denkleminin sağlanması ancak iki
tarafın da aynı sabite eşit olması ile mümkündür. E olarak seçilen ve Enerji olarak adlandırılan bu sabit ile,
çözümüne ulaşılır.
www.phys.boun.edu.tr/~beker/wp-content/uploads/2013/04/MM-7.doc
11 Ağustos
2019
