Sıralama (düzen) teorisi, ikili ilişkileri kullanarak sezgisel sıralama kavramını araştıran bir matematik dalıdır. ‘Bu bundan azdır’ veya ‘bu bundan önce gelir’ gibi ifadeleri tanımlamak için resmi bir çerçeve sağlar. Bu makale alanı tanıtmakta ve temel tanımlar sunmaktadır.
Temel tanımlar
Burada, küme teorisi, aritmetik ve ikili ilişkiler kavramları temel alınarak
sıralı kümeler tanıtmaktadır.
Kısmen sıralı kümeler: Sıralama özel ikili ilişkilerdir. P'nin bir
küme olduğunu ve ≤ işaretinin P üzerinde bir ilişki olduğunu varsayalım (‘kümedeki
ilişki!’, ‘sakinleri arasındaki ilişki’ anlamında alınır). O zaman ≤ eğer
yansımalı, antisimetrik ve geçişli ise kısmi bir sıradır; yani P'deki tüm a, b
ve c için,
·
a ≤ a (yansıma)
·
a ≤ b ve b ≤ a ise a = b (antisimetri)
·
a ≤ b ve b ≤ c ise a ≤ c (geçişlilik)
Bir kısmi sıralı kümeye, kısmen sıralı küme, poset veya sadece sıralı
küme denir. Bu özellikler kontrol edildiğinde, doğal sayılar, tamsayılar,
rasyonel sayılar ve reel sayılar üzerindeki iyi bilinen sıralamaların hepsinin
yukarıdaki anlamda sıralamalar olduğu görülür. Bununla birlikte, bu örneklerin
herhangi iki öğenin karşılaştırılabilir olması gibi ek bir özelliği vardır,
yani P'deki tüm a ve b için:
a ≤ b veya b ≤ a ilişkisibulunur.
Posetin görselleştirilmesi: Hasse diyagramları kısmi bir sıralamanın
öğelerini ve ilişkilerini görsel olarak temsil edebilir. Bunlar, köşelerin posetin
elemanları olduğu ve sıralama ilişkisinin hem kenarlar hem de köşelerin
göreceli konumu ile gösterildiği grafik çizimleridir.
Sıralamalr aşağıdan yukarıya doğru çizilir: Eğer bir x öğesi y'den
küçükse (önceyse) o zaman x'ten y'ye yukarıya doğru yönlendirilen bir yol
vardır. Elemanları birleştiren kenarların birbirini geçmesi sıklıkla
gereklidir, ancak elemanlar hiçbir zaman bir kenarın içine
yerleştirilmemelidir.
Sıralama içindeki özel unsurlar: Kısmen sıralanmış bir kümede özel rol
oynayan bazı öğeler olabilir. En temel örnek, bir posetin en küçük elemanı
tarafından verilmektedir. Örneğin 1, pozitif tam sayıların en küçük elemanıdır
ve boş küme, alt küme sırasının en küçük kümesidir. Biçimsel olarak, bir m
öğesi aşağıdaki durumlarda en küçük öğedir:
m ≤ a, a sıralamasının tüm elemanları için
Dualite: Sıra teorisindeki genel bir durumdur: Belirli bir sıra,
yalnızca yönünü değiştirerek, Hasse diyagramını resimli olarak yukarıdan
aşağıya çevirerek tersine çevrilebilir. Bu, çok bilinen ikili, ters veya zıt
düzeni sağlar.
Yeni sıralamaların oluşturulması: Verilen sralamalardan sıralama oluşturmanın birçok yolu vardır. İkili düzen bir örnektir. Bir diğer önemli yapı, eleman çiftleri üzerindeki çarpım sırası ile birlikte alınan, kısmen sıralı iki kümenin kartezyen çarpımıdır. Sıralama (a, x) ≤ (b, y) ile tanımlanır; ancak (ve yalnızca) a ≤ b ve x ≤ y ise. İki poeetin ayrık birleşimi, düzenin orijinal düzenlerin yalnızca (ayrık) birleşimi olduğu düzen inşasının başka bir tipik örneğidir.
https://en.wikipedia.org/wiki/Order_theory
21 Ocak 2024
GERİ (matematik anasayfa)
