Özdeğer, Özvektör, Özuzay (eigenvalue, eigenvector, eigenspace)

Doğrusal cebirde, doğrusal bir dönüşümün bir özvektörü veya karakteristik vektörü, doğrusal dönüşüm uygulandığında skaler bir faktörle değişen sıfır olmayan bir vektördür. Karşılık gelen özdeğer l, özvektörün ölçeklendiği faktördür.

Geometrik olarak, gerçek bir sıfır olmayan özdeğere karşılık gelen bir özvektör, dönüşüm tarafından gerildiği ve özdeğerin esnetildiği faktör olduğu bir yönü işaret eder. Özdeğer negatif ise, yön tersine çevrilir. Çok boyutlu bir vektör uzayında özvektör hemen hemen döndürülmez.

Özdeğerler ve özvektörler, birbiriyle yakından ilişkili birçok matematiksel kavram ortaya çıkarır ve onları adlandırırken ön ek öz- uygulanır:

  • Doğrusal bir dönüşümün, her biri karşılık gelen özdeğerle eşleştirilmiş tüm özvektörleri dizisi, bu dönüşümün özsistemi olarak adlandırılır.
  • Sıfır vektörü ile birlikte aynı özdeğere karşılık gelen T'nin tüm özvektörlerinin kümesine özuzay veya bu özdeğerle ilişkili karakteristik T uzayı denir.
  • T'nin bir dizi özvektörü T'nin alanının temelini oluşturuyorsa, bu temele öztemel denir.

Köşegenleştirilemeyen bir matrisin kusurlu olduğu söylenir. Kusurlu matrisler için, özvektörler kavramı genelleştirilmiş özvektörlere ve özdeğerlerin köşegen matrisi Jordan normal formuna genelleştirilir. Cebirsel olarak kapalı bir alan üzerinde, herhangi bir A matrisi Jordan normal bir forma sahiptir ve bu nedenle genelleştirilmiş özvektörlerin bir temelini ve genelleştirilmiş özuzaylara ayrışmayı kabul eder.

Örnek (ref. Eigen.pdf)

A, n büyüklüğünde bir kare matrisi tanımladığında, x® ∈ Rn sıfır olmayan bir vektör ve bir skaler l arasında aşağıdaki eşitlikler yazılabilir:

A x® = l x®, veya eşdeğer olarak (A − l In) x® = 0

skaler l: A’nın özdeğeri,

vektör x® ¹ 0: özdeğer l ile ilişkili bir A’nın özvektörü,

A − l In‘ın boş uzayı: özdeğer l ile ilişkili A’nın özuzayı olarak adlandırılır.

A'nın özdeğerleri, polinomun kökleriyle verilir:

det (A – l In) = 0

Karşılık gelen özvektörler, doğrusal sistemin sıfır olmayan çözümleridir.

(A – l In) x® = 0

Bu sistemin tüm çözümlerini toplayarak, karşılık gelen özüzay elde edilir.

Matris A, yönünü değiştirmeden x vektörünü gererek hareket eder, bu nedenle x, A'nın bir özvektörüdür


Bu kayma haritalamasında kırmızı ok yön değiştirirken mavi ok değişmez; mavi ok, bu kayma eşlemesinin bir özvektörüdür, çünkü yön değiştirmez ve uzunluğu değişmediğinden özdeğeri 1'dir

 

https://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvalues_and_eigenvectors

7 Aralık 2020

 

GERİ (terimler)