Elips, iki noktaya uzaklıkları tplamı sabit
olan noktalar kümesidir. Bir elipsin küçük ekseni çevresinde döndürülmesiyle
kutuplarda bastırılmış dönel bir elipsoid oluşur. Jeodezik (elipsoidal)
sistemin başlangıcı elipsoidin merkezindedir.
Ekvator yarıçapı a ve kutupsal yarı-ekseni b
olan bir elipsoid için:
yassılaşma (flattening):
f = (a − b)/a
dış merkezlilik
(eccentricity): e = (a2 − b2)½ / a = (2f – f2)½
ikinci dış merkezlilik:
e′ = (a2 − b2)½ / b = (2f – f2)½
= e/(1 − f)
Jeodezideki çoğu uygulamada, elipsoidin
şişirilmiş olduğu kabul edilir, a > b; bununla birlikte, teori, prolate
(yayvan) elipsoidlere, a < b değişiklik yapmadan uygulanır, bu durumda f, e
ve e′ negatifdir.
(a) Bir meridyen elips elemanın diferansiyeli, (b) bir elipsoid
üzerindeki bir jeodezik elemanın diferansiyeli
Elipsoid üzerindeki bir yolun temel bir
kesiminin uzunluğu ds olduğunda, Şekil (a) ve (b)’de azimut a ise, ds ile dφ ve dl arasındaki ilişki:
cos a ds = r
dφ = - dR / sin φ sin a ds = R dl
r:
eğrinin meridyonal yarıçapı, R = ν cosφ: φ enlem dairesinin yarıçapı, ν:
eğrinin normal yarıçapı, ds: elementer segmenttir.
Genel
Görelilikte Jeodezik
Genel görelilikte bir jeodezik, eğri
uzay-zamana "düz bir çizgi" kavramını genelleştirir. Tüm dış,
yerçekimsel olmayan kuvvetlerden arınmış bir partikülün dünya çizgisi, belirli
bir jeodezik tiptir. Başka bir deyişle, serbestçe hareket eden veya düşen bir
partikül her zaman bir jeodezik boyunca hareket eder.
Genel Görelilikte gravite, bir kuvvet olarak
kabul edilmez, eğrilik kaynağının gerilme-enerji tensörü olduğu kavisli bir
uzay-zaman geometrisi gibi algılanır. Bu nedenle, örneğin, bir yıldızın
yörüngesindeki bir gezegenin yolu, yıldızın etrafındaki eğri 4-D uzay-zaman
geometrisinin bir jeodezikinin 3-D uzaya projeksiyonudur.
Bir düzlem üzerindeki iki nokta arasındaki en
kısa yol, bir doğru ile temsil edilir. Bir küre üzerindeki iki nokta arasındaki
en kısa yol ise, merkezi kürenin merkezi olan ve bu iki noktadan geçen yay
parçası ile ifade edilir. Bir yüzey üzerinde yer alan iki nokta arasındaki en
kısa mesafeyi belirten bu eğriye, jeodezik eğri diyoruz.
(a) Bir düzlem üzerinde iki nokta arasındaki en kısa mesafe bir doğru
parçası ile gösterilirken, (b) eğri uzay zamanda bu bir jeodezik eğridir
Bir küre üzerindeki en kısa mesafe, merkezi, kürenin merkezi olan ve
bu iki noktadan geçen bir büyük çemberin yay parçası ile ifade edilir
|
 |
Kütleler, uzay-zamanı kütleleri ile orantılı
olarak bükerler. Bu eğri üzerinde bulunan herhangi bir gök cisminin rotası,
yani evren çizgisi, bir jeodezik eğridir. Özetle, kütle çekimsel alanda hareket
eden bir cisim, jeodezik olan bir evren çizgisini takip eder.
Diferansiyel Geometride Jeodezik Eğri
Jeodezik eğri kavramı, diferansiyel
geometride karşımıza çıkar. Bir eğri, üç boyutlu uzay için, burulma ve bükülme
ile ifade edilir. Bir düzlem üzerindeki eğrilik bükülme, bu düzleme dik olan
diğer düzlemdeki eğrilik ise burulmadır. Doğru üzerinde yapılan bu bükme ve
burma işlemi sonucu elde edilen eğri, değişimi ifade eden diferansiyeller ile
kolayca gösterilebilir.
Bir yüzey üzerindeki birim hız eğrisi için,
ivmenin yüzey-tanjant bileşeninin uzunluğu, Kg, jeodezik
eğridir. Kg = 0 olan eğriler, jeodezikler olarak adlandırılır.
Parametre gösterimi a(t) = x [u(t),
v(t)] olan bir eğri için, jeodezik eğri aşağıdaki şekilde yazılır:
Kg
= (EG – F2)1/2 [–G211 u’3
+ G122 n’3
– (2 G212 – G111) u’2
n’
+ (2 G112 – G222) u’ n’2
+ u’’ n’ – n’’ u’]
x (E u’2 + 2 F u’ n’ + G n’2)-3/2
E, F ve
G: birinci form temel katsayılar, Gkij ler: İkinci
tür Christoffel sembollerdir.
Albert Einstein,
jeodezik hareket denkleminin boş uzay (space) için geçerli olan alan
denklemlerinden çıkarılabileceğine inanıyordu; bu konuda şunları söyler:
Rastgele büyük yerçekimsel kütleler
durumunda genelleştirilen hareket kanunu, sadece boş uzayın alan
denklemlerinden elde edilebilir. Bu çıkarıma göre, hareket yasası, alan,
ürettiği kütle noktalarının dışında hiçbir yerde tekil olamaz şartını içerir.
Orjinal göreli gravitasyon
teorisinin kusurlarından biri, bir alan teorisi olarak tam olmamasıdır;
bağımsız önermeyi, bir partikülün hareket yasasının jeodezik eşitlikle verildiğini
öne sürer.
Tam bir alan teorisi, partikül ve
hareket kavramlarını değil sadece alanları bilir. Çünkü bunlar alandan bağımsız
olarak bulunmamalıdır, ancak bunun bir parçası olarak ele alınmalıdır.
Tekilliği olmayan bir partikül
tanımına dayanarak, birleşik bir problemin mantıksal olarak daha tatmin edici
bir şekilde işlemlenme olasılığı vardır; bu, alanın ve hareketin problemi
çakışmasıdır.
Hem fizikçiler hem de
filozoflar, gravitasyonal tekilliğin hareketini tanımlamak için jeodezik
denklemin alan denklemlerinden elde edilebileceği iddiasını sıklıkla tekrarlamışlardır,
ancak bu iddia tartışmalıdır. Daha az tartışmalı olan, alan denklemlerinin,
nokta-tekilliğin hareketinden farklı olarak, bir akışkan veya tozun hareketini
belirlediği fikridir.
https://rasyonalist.org/yazi/jeodezik-egri/
https://en.wikipedia.org/wiki/Geodesics_on_an_ellipsoid
30 Temmuz 2019
GERİ
(yasalar)
GERİ
(astrofizik)
GERİ
(gravitasyon ve görelilik)
GERİ
(gravitomagnetizma)
