Homolojik cebir, genel cebirsel ortamda homolojiyi inceleyen matematik dalıdır. Kökenleri 19. yüzyılın sonunda kombinatoryal topoloji (cebirsel topolojinin öncüsü) ve soyut cebir (modüller ve syzygies teorisi) araştırmalarına kadar izlenebilen nispeten genç bir disiplindir, özellikle Henri Poincaré ve David Hilbert tarafından oluşturulmuştur.
Homolojik cebir, homolojik fonksiyonların ve bunların gerektirdiği
karmaşık cebirsel yapıların incelenmesidir; gelişimi kategori teorisinin ortaya
çıkışıyla yakından bağlantılıydı. Merkezi bir kavram, homolojileri ve
kohomolojileri yoluyla incelenebilen zincir kompleksleridir.
Homolojik cebir, bu komplekslerin içerdiği bilgileri çıkarma ve bunu
halkaların, modüllerin, topolojik uzayların ve diğer ‘somut’ matematiksel objelerin
homolojik değişmezleri biçiminde sunma araçlarını sağlar. Spektral dizi bunun
için güçlü bir araçtır.
Homolojik cebir cebirsel topolojide çok büyük bir rol oynamıştır.
Etkisi giderek genişledi ve şu anda değişmeli cebir, cebirsel geometri,
cebirsel sayı teorisi, temsil teorisi, matematiksel fizik, operatör cebirleri,
karmaşık analiz ve kısmi diferansiyel denklemler teorisini içeriyor. K-teorisi,
Alain Connes'in değişmeli olmayan geometrisi gibi, homolojik cebir
yöntemlerinden yararlanan bağımsız bir disiplindir.
(a) Homolojik cebirin temel sonucu olan snake lemmada kullanılan bir diyagram. (snake lemma, matematikte, özellikle homolojik cebirde uzun kesin diziler oluşturmak için kullanılan bir araçtır.)
(b) X, Y, Z objeleri ve f, g, g ∘ f morfizmleri içeren
bir kategorinin şematik temsili (kategorinin üç
kimlik morfizmi 1X, 1Y ve 1Z, açıkça
temsil edilirse, sırasıyla X, Y ve Z
harflerinden kendilerine doğru üç ok olarak görünecektir.)
(c) Temsil teorisi cebirsel yapıların nesneler
üzerinde nasıl ‘etkide bulunduğunu’ inceler; basit bir örnek, normal
çokgenlerin yansımalardan ve dönmelerden oluşan simetrilerinin çokgeni nasıl
dönüştürdüğüdür.
(d) Bu, A, B, C objelerinin ve
f, g, g ∘ f olarak gösterilen
morfizmlerin koleksiyonunu içeren bir kategoridir; döngüler
kimlik oklarıdır.
https://en.wikipedia.org/wiki/Homological_algebra
18 Araluk 2023
GERİ (matematik anasayfa)
