Harmonik analiz, bir fonksiyon ile onun frekanstaki gösterimi arasındaki bağlantıların araştırılmasıyla ilgilenen bir matematik dalıdır. Frekans gösterimi, gerçek doğrudaki fonksiyonlar için Fourier dönüşümü kullanılarak, veya periyodik fonksiyonlar için Fourier serisi kullanılarak bulunur. Bu dönüşümlerin diğer alanlara genelleştirilmesine çoğunlukla Fourier analizi denir. Harmonik Analiz, sayı teorisi, temsil teorisi, sinyal işleme, kuantum mekaniği, gelgit analizi ve sinir bilimi gibi çok çeşitli alanlardaki uygulamalarıyla geniş bir konu haline geldi.
Harmonikler’ terimi, ‘müzikte yetenekli’ anlamına gelen Eski Yunan’ca
harmonikos sözcüğünden kaynaklanmıştır. Fiziksel özdeğer problemlerinde, müzik
notalarının harmoniklerinin frekansları gibi, frekansları birbirinin tam
katları olan dalgalar anlamına gelmeye başladı. Terim orijinal anlamının
ötesinde genelleştirilmiştir.
Rn üzerindeki
klasik Fourier dönüşümü, özellikle temperlenmiş dağılımlar gibi daha genel obeler
üzerindeki Fourier dönüşümüyle ilgili olarak halen devam eden bir araştırma
alanıdır. Örneğin, f dağılımına bazı gereksinimler yüklersek, bu gereksinimleri
f'nin Fourier dönüşümüne çevirmeye çalışabiliriz. Paley-Wiener teoremi bir
örnektir. Paley-Wiener teoremine göre, f, kompakt desteğin sıfır olmayan bir
dağılımıdır (bunlar kompakt desteğin işlevlerini içerir), bu durumda Fourier dönüşümü
asla kompakt bir şekilde desteklenmez (yani, bir alanda bir sinyal sınırlıysa,
diğerinde sınırsızdır). Bu, harmonik analiz ortamında belirsizlik ilkesinin
temel bir şeklidir.
Fourier serileri, harmonik analiz ile fonksiyonel analiz arasında bir
bağlantı sağlayan Hilbert uzayları kapsamında uygun bir şekilde incelenebilir.
Fourier dönüşümünün, dönüşümle haritalanan uzaylara bağlı olarak dört versiyonu
vardır:
·
ayrık / periyodik – ayrık / periyodik: ayrık
Fourier dönüşümü (DFT) ,
·
sürekli / periyodik – ayrık / aperiyodik: Fourier
serileri,
·
ayrık / aperiyodik – sürekli / periyodik: ayrık
– zamanlı Fourier dönüşümü (DTFT),
·
sürekli / aperiyodik – sürekli / aperiyodik: Fourier
dönüşümü (FT).
https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_analysis
14 Ocak 2024
GERİ (matematik anasayfa)