Harmonik Analiz (harmonic analysis)

Harmonik analiz, bir fonksiyon ile onun frekanstaki gösterimi arasındaki bağlantıların araştırılmasıyla ilgilenen bir matematik dalıdır. Frekans gösterimi, gerçek doğrudaki fonksiyonlar için Fourier dönüşümü kullanılarak, veya periyodik fonksiyonlar için Fourier serisi kullanılarak bulunur. Bu dönüşümlerin diğer alanlara genelleştirilmesine çoğunlukla Fourier analizi denir. Harmonik Analiz, sayı teorisi, temsil teorisi, sinyal işleme, kuantum mekaniği, gelgit analizi ve sinir bilimi gibi çok çeşitli alanlardaki uygulamalarıyla geniş bir konu haline geldi.

Harmonikler’ terimi, ‘müzikte yetenekli’ anlamına gelen Eski Yunan’ca harmonikos sözcüğünden kaynaklanmıştır. Fiziksel özdeğer problemlerinde, müzik notalarının harmoniklerinin frekansları gibi, frekansları birbirinin tam katları olan dalgalar anlamına gelmeye başladı. Terim orijinal anlamının ötesinde genelleştirilmiştir.

Rn üzerindeki klasik Fourier dönüşümü, özellikle temperlenmiş dağılımlar gibi daha genel obeler üzerindeki Fourier dönüşümüyle ilgili olarak halen devam eden bir araştırma alanıdır. Örneğin, f dağılımına bazı gereksinimler yüklersek, bu gereksinimleri f'nin Fourier dönüşümüne çevirmeye çalışabiliriz. Paley-Wiener teoremi bir örnektir. Paley-Wiener teoremine göre, f, kompakt desteğin sıfır olmayan bir dağılımıdır (bunlar kompakt desteğin işlevlerini içerir), bu durumda Fourier dönüşümü asla kompakt bir şekilde desteklenmez (yani, bir alanda bir sinyal sınırlıysa, diğerinde sınırsızdır). Bu, harmonik analiz ortamında belirsizlik ilkesinin temel bir şeklidir.

Fourier serileri, harmonik analiz ile fonksiyonel analiz arasında bir bağlantı sağlayan Hilbert uzayları kapsamında uygun bir şekilde incelenebilir. Fourier dönüşümünün, dönüşümle haritalanan uzaylara bağlı olarak dört versiyonu vardır:

·         ayrık / periyodik – ayrık / periyodik: ayrık Fourier dönüşümü (DFT) ,

·         sürekli / periyodik – ayrık / aperiyodik: Fourier serileri,

·         ayrık / aperiyodik – sürekli / periyodik: ayrık – zamanlı Fourier dönüşümü (DTFT),

·         sürekli / aperiyodik – sürekli / aperiyodik: Fourier dönüşümü (FT).


Fourier dönüşümünün (a) gösterimi ve (b) periyodik toplamı (DTFT). (c)ve (d)’deki spektral diziler: (c)’de s(t)'nin periyodik toplamının bir döngüsünden (d)’de s(nT) dizisinin periyodik toplamının bir döngüsünden hesaplanır; ilgili formüller (c) Fourier serisi integrali ve (d) DFT toplamıdır; orijinal dönüşüm S(f) ile benzerlikleri ve göreceli hesaplama kolaylığı, genellikle bir DFT dizisinin hesaplanmasının motivasyonudur (Wiki)

 

https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_analysis

14 Ocak 2024

 

GERİ (matematik anasayfa)