Gauss Yasası, Elektrik (Gauss's law, electric)

Gauss yasası, başlıca fizik ve matematiksel çözümleme alanlarında kullanılan bir yasadır. Elektrik bağlamında, kapalı bir yüzeyin dışına akan elektriksel akı ile, yüzey içerisinde kalan elektriksel yük arasındaki bağıntıyı tanımlar. Gauss yasası elektrik ile sınırlı kalmayıp ters kare yasasının etkin olduğu her duruma uygulanabilir. Örneğin, yerçekimsel güçler söz konusu olduğunda, benzer biçimde yüzey içerindeki kütle ile dışa akan yerçekimsel akı arasındaki bağıntıyı tanımlar.

Gauss yasası elektromagnetik kuramın tabanını oluşturan dört temel Maxwell denkleminden biridir. (Dört temel Maxwell İntegral ve türev denklemleri “Maxwell Eşitlikleri” bölümünde verilmiştir.)

Gauss yasası eşitlikleri:

İntegral denklemi:     F_E = ∮_A E.dA = Q / e₀

Türev denklemi:        Ñ.E = r / e₀

F_E = elektrik akısı, Q = toplam yük, E =: elektrik alanı, A = yüzey alanı, e₀ = boşluğun elektrik geçirgenliği, Ñ.E = elektrik alanı yayılımıdır (divergence).

Herhangi bir kapalı yüzeyden geçen elektrik akısı, yüzeyin sarmaladığı net yükün (Q) e₀ ‘a bölümüdür. Gauss kanununun uygulanabilmesi için yük etrafında uygun kapalı yüzeyler seçilmelidir.

Gauss Yasası herhangi bir kapalı yüzeye uygulanan genel bir yasadır. Alanın yük dağılımının, dışındaki bir yüzeyde eşleştirilerek çevrelenmiş yük miktarının değerlendirilmesine izin verdiği için önemli bir araçtır. Yeterli simetri geometrileri elektrik alanın hesaplanmasını kolaylaştırır.

Bunu görselleştirmenin bir başka yolu, örneğin A alanı için, bu alana dik elektrik alanını ölçebilen bir prob düşünmektir. Prob, herhangi bir kapalı yüzey seçer ve bu yüzeyin üzerine basarsa, iç yükün nasıl yapılandırıldığına bakılmaksızın, yüzeydeki net elektrik yükünün bir ölçüsünü kaydeder.

Kapalı bir yüzeyden çıkan elektrik akısının toplamı, çevrelenen yükün (Q) geçirgenliğe (e₀) bölünmesine eşittir

Gauss yasası integral formu; herhangi bir kapalı yüzey üzerinde elektrik alanın integral alanı, yüzeyde bulunan (çevrelenmiş) net yükün, alanın geçirgenliğine bölünmesine eşitti.

Elektrik Akısı

Elektrik akısı (dF_E), elektrik alanının akısıdır; bir yüzeyden geçen elektrik alan çizgilerinin sayısıyla doğru orantılıdır. Çok küçük bir dA alanındaki elektrik akısı dF_E:

dF_E = E dA

E, yüzeye dik olan elektrik alanıdır. Bir S yüzeyinden geçen elektrik akısı dA alanlarının toplanmasıyla elde edilir:

F_E = ∫_s E.dA

dA, büyüklüğü yüzeyin alanına eşit, yönü yüzeye dik olan vektördür.

F_E = E A cos q

q, yüzeyle elektrik alanı arasındaki açıdır.

Gauss yasasına göre kapalı bir yüzeyden geçen net elektrik akısı yüzey alanından bağımsızdır, sadece alanın çevrelediği yükle orantılıdır:

dF_E = ∮_s E dA = Q_S / e₀

Q_S kapalı yüzeyin içinde kalan net yük, ε₀ boşluğun yalıtkanlık sabitidir. Bu yasa klasik elektromagnetizmayı açıklayan dört Maxwell denkleminden biridir. (Elektrik akısının SI birimi Volt metredir.)

A alanı bir vektör operasyonunda kullanıldığında, vektörün büyüklüğünün alana eşit ve vektör yönünün alana dik olduğu anlaşılır

Gauss Yasasının Uygulamaları

Gauss yasası, elektrik alanları yeterli simetri yük dağılımlarından kaynaklandığı zaman, elektrik alanlarının hesaplanması için güçlü bir araçtır. Yük dağılımının yeterli simetriye sahip olmadığı durumda alan, bireysel şarj elementlerinin nokta şarj (yük) alanlarını toplayarak bulunmalıdır.

Nokta Yükün Elektrik Alanı

Bir nokta yükün (Q) elektrik alanı, doğrudan Gauss yasası uygulanarak elde edilebilir. r yarıçapında küre şeklinde bir Gauss yüzeyi göz önüne alındığında, elektrik alanı kürenin her noktasında aynı büyüklüğe sahiptir ve dışa doğru yönlendirilir. Elektrik akısı, elektrik alanı ile kürenin alanının çarpımıdır. (Şekil-1a)

Hat (line) Yükün Elektrik Alanı

Üniform bir lineer şarj yoğunluğuyla sonsuz bir hat yükünün elektrik alanı, Gauss yasası kullanılarak elde edilebilir. r yarıçapında silindir şeklinde bir Gauss yüzeyi göz önüne alındığında, elektrik alanı silindirin her noktasında aynı büyüklüğe sahiptir ve dışa doğru yönlendirilir. Elektrik akısı, elektrik alanının silindir alanı ile çarpımına eşittir. (Şekil-1 b)

Şarj Levhasında Elektrik Alanı

Sonsuz bir yük tabakası (levhası) için, elektrik alanı yüzeye dik olacaktır. Bu nedenle sadece silindirik bir Gauss yüzeyinin uçları elektrik akısına katkıda bulunabilir. Bu durumda, yükleme tabakasına dik olan silindirik bir Gauss yüzeyi kullanılır. Ortaya çıkan alan, bu yüzey yükü yoğunluğu ile dengede olan bir iletkenin yarısıdır. (Şekil-1 c)

 Şekil-1: Elektrik alanı; (a) nokta şarj (yük), (b) hat (line) şarj, (c) şarj levhası

İletken Kürenin Elektrik Alanı

Q yüklü iletken bir kürenin elektrik alanı, Gauss yasasının basit bir uygulamasıyla elde edilebilir. r > R yarıçapında küre şeklinde bir Gauss yüzeyi göz önüne alındığında, elektrik alanı yüzeyin her noktasında aynı büyüklüğe sahiptir ve dışa doğru yönlendirilir. Elektrik akısı, elektrik alanı ile küresel yüzey alanının çarpına eşittir. Elektrik alanı ise, kürenin ortasındaki bir nokta yük (Q) ile aynı olur. Tüm yük iletken yüzeyde kalacağından, r < R 'deki bir Gauss yüzeyinin hiçbir yük içermeyeceği ve küresel iletken içindeki tüm noktalarda simetrisinin sıfır olduğu görülür. (Şekil-2a)

İletken Silindirde Elektrik Alanı

Uniform bir doğrusal yük yoğunluğuna sahip sonsuz silindirik bir iletkenin elektrik alanı Gauss yasası kullanılarak elde edilebilir. r > R yarıçapında silindir şeklinde bir Gauss yüzeyi göz önüne alındığında, elektrik alanı silindirin her noktasında aynı büyüklüğe sahiptir ve dışa doğru yönlendirilir. Elektrik akı, elektrik alanın silindirin alanıyla çarpımıdır. (Şekil-2b)

İletken Yüzeyde Elektrik Alanı

İletken bir yüzeye yakın elektrik alanın doğasını incelemek Gauss yasasının önemli bir uygulamasıdır. Yüzeye dik olarak yönlendirilmiş silindirik bir Gauss yüzeyi göz önüne alındığında, elektrik akısına tek katkının Gauss yüzeyinin üstünden geldiği görülebilir.

İletkenin dengede olduğu gerçeği bu problemde önemli bir kısıtlamadır; bu durum alanın yüzeye dik olduğunu gösterir, aksi takdirde yüzeye paralel bir kuvvet uygular ve yük hareketi oluşturur. Aynı şekilde, iletkenin iç kısmındaki alanın sıfır olduğunu da gösterir, çünkü aksi halde şarj hareket halinde olacağından dengede bulunamayacaktır. (Şekil-2c)

Şekil-2: Elektrik alanı; (a) iletken küre, (b) iletken silindir, (c) iletken yüzey

Uniform Şarj Kürende Elektrik Alanı

Toplam yükü Q olan uniform yük yoğunluklu bir kürenin elektrik alanı Gauss yasası uygulanarak elde edilebilir. r > R yarıçapında küre şeklinde bir Gauss yüzeyi göz önüne alındığında, elektrik alan yüzeyin her noktasında aynı büyüklüğe sahiptir ve dışa doğru yönlendirilir. Elektrik akısı, elektrik alanı ile küresel yüzeyin alanının çarpımıdır. Kürenin dışındaki elektrik alanın (r > R), kürenin merkezindeki nokta yük Q ile aynı olduğu görülür. r < R yarıçapı için, bir Gauss yüzeyi toplam şarjdan daha az yük içerecek ve elektrik alan daha küçük olacaktır. (Şekil-3a)

Şarj Silindirinde Elektrik Alanı

Uniform hacimli şarj (yük) yoğunluğuna sahip sonsuz bir silindirin elektrik alanı, Gauss yasasıyla elde edilebilir. r > R yarıçapında silindir şeklinde bir Gauss yüzeyi göz önüne alındığında, elektrik alanı silindirin her noktasında aynı büyüklüğe sahiptir ve dışa doğru yönlendirilir. Elektrik akı, elektrik alanı ile silindir alanının çarpımına eşittir. (Şekil-3b)

Paralel Levhalarda Elektrik Alanı

Zıt yüklü paralel iletken levhalar (plakalar), sonsuz düzlemler gibi işlemlenirse (saçaklanma ihmal edilerek) Gauss yasası plakalar arasındaki elektrik alanını hesaplamak için kullanılabilir. Plakaların iletkenlerin içinde sıfır elektrik alanla dengede olduğu varsayıldığında, yüklü bir iletken yüzeyden elde edilen sonuç kullanılabilir. (Şekil-3c)

Şekil-3: Elektrik alanı; (a) uniform şarj (yük) küresi, (b) şarj silindiri, (c) paralel levhalar

Yararlanılan Kaynak:

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/gaulaw.html

16 Temmuz 2019

GERİ (yasalar)
GERİ (astrofizik)

GERİ (elektromagnetizma)