Fonksiyonellerin optimizasyonu ise fizik ve matematiğin belki de en temel konusudur;
bu bazen,
“J [¦ (x)] fonksiyonelinin optimizasyonu bize ne verir ?”
bazen de,
“Doğa yasaları nasıl bir J [¦ (x)] fonksiyonelinin optimizasyonu sonucu ortaya çıkmış olabilir ? ”
biçiminde incelenir.
Önce Brachistochrone benzeri kinematik problemlerde, sonra klasik mekaniğin “Eylem” fonksiyoneli ile formüle edilmesinde kullanılan bu metot, geometrik optiğin Fermat ilkesinden, kuantum mekaniğinin yörünge integrali formalizmine kadar vazgeçilmez bir yaklaşım olarak değerini arttırmıştır.
Fonksiyonel optimizasyonu için, aynen fonksiyonlarda kullanılan mantıkla ¦ (x) biraz değiştirilerek,
olması istenir. Bazen de,
olarak ifade edilen bu teknik “Varyasyon hesabı” olarak adlandırılır. Çok genel bir konu olan varyasyon hesabının sadece aşağıdaki özel hali üzerinde durulacaktır.
Uç noktalarda,
sağlayan bir varyasyon kullanılarak gerçekleştirilen,
ve dolayısıyla,
dönüşümleri altında dJ = 0 ifadesi:
biçimini alır.
olarak yazılarak,
sonucuna ulaşılır. İkinci terimin kısmi integrali alınarak,
biçiminde açılması sonucu elde edilen,
eşitliği tüm h fonksiyonları için geçerli olduğundan Euler denklemi olarak adlandırılan,
eşitliğine ulaşılır. Bu denklem veya onun çok bağımsız fonksiyonlu biçimi olan,
