Fonksiyonel analiz, temelini bir tür limitle ilişkili yapıya (örneğin, iç çarpım, norm veya topoloji) sahip vektör uzaylarının ve bu uzaylarda tanımlanan doğrusal fonksiyonların incelenmesiyle oluşturulan matematiksel analizin bir dalıdır.
Fonksiyonel analizin tarihsel kökleri, fonksiyon uzaylarının
incelenmesinde ve Fourier dönüşümü gibi fonksiyon dönüşümlerinin özelliklerinin
formüle edilmesinde yatmaktadır; örneğin fonksiyon uzayları arasındaki sürekli
veya üniter operatörleri tanımlayan dönüşümler gibi. Bu bakış açısının, özellikle
diferansiyel ve integral denklemlerin incelenmesinde yararlı olduğu ortaya
çıktı.
Fonksiyonel sözcüğünün bir isim olarak kullanımı, değişkenlik hesabına
kadar uzanır, argümanı bir foksiyon olan bir fonksiyonu işaret eder. Terim ilk
kez Hadamard'ın bu konuyla ilgili 1910 tarihli kitabında kullanıldı. Ancak
genel fonksiyonel kavramı daha önce 1887'de İtalyan matematikçi ve fizikçi Vito
Volterra tarafından ortaya atılmıştı. Doğrusal olmayan fonksiyoneller teorisi
Hadamard'ın öğrencileri, özellikle de Fréchet ve Lévy tarafından devam
ettirildi. Hadamard ayrıca Riesz ve Stefan Banach'ın çevresindeki Polonyalı
matematikçiler tarafından geliştirilen modern doğrusal fonksiyonel analiz
okulunu kurdu.
Fonksiyonel analize ilişkin modern giriş metinlerinde konu, bir
topolojiye sahip vektör uzaylarının, özellikle de sonsuz boyutlu uzayların
incelenmesi olarak görülmektedir. Bunun aksine, doğrusal cebir çoğunlukla sonlu
boyutlu uzaylarla ilgilenir, topolojiyi kullanmaz. Fonksiyonel analizin önemli
bir kısmı ölçü, entegrasyon ve olasılık teorilerinin, sonsuz boyutlu analiz
olarak da bilinen sonsuz boyutlu uzaylara genişletilmesidir.
(b) Bir ölçü, ölçüsünün, bir alt
kümesinin ölçüsünden küçük veya ona eşit olması anlamında monoton olma
özelliğine sahiptir. Ayrıca, boş kümenin ölçüsünün 0 olması gerekir. Örneğin, hacim
(bir nesnenin ne kadar büyük bir alanı kapladığı) ölçü olarak verilebilir.
(c) Bir fonksiyonun belirli bir
integrali, grafiği ve yatay eksenle sınırlanan bölgenin işaretli alanı olarak
temsil edilebilir; örneğin, yukarıdaki grafikte integrali, (-) alan tarafından
çıkarılan (+) alandır.
(d) Olasılık teorisi veya
olasılık kalkülüs, matematiğin olasılık ile ilgili dalıdır; Kolmogorov
aksiyomları olasılık teorisinin temelleridir
(e) Fonksiyonel analizi
çerçeveleyen bir çizim.
https://en.wikipedia.org/wiki/Functional_analysis
21 Ocak 2024
GERİ (matematik anasayfa)
