Evrensel cebir (bazen genel cebir olarak da adlandırılır), cebirsel yapıların örneklerini (modellerini) değil, kendisini inceleyen matematik alanıdır. Evrensel cebir, örneğin, çalışmanın objesi olarak belirli grupları almak yerine, grup sınıflarını ele alır.
Temel Fikir
Evrensel cebirde, bir cebir (veya cebirsel yapı), A kümesiyle birlikte
A üzerindeki işlemlerin toplamıdır.
·
A üzerinde n'lik bir işlem, A'nın n elemanını
alan ve A'nın tek bir elemanını döndüren bir fonksiyondur.
·
Dolayısıyla, 0'lı bir işlem (veya sıfır işlemi),
basitçe A'nın bir öğesi veya genellikle a gibi bir harfle gösterilen bir sabit
olarak temsil edilebilir.
·
1'li işlem (veya tekli işlem), A'dan A'ya kadar
olan bir fonksiyondur; genellikle ~x gibi argümanının önüne yerleştirilen bir
sembolle gösterilir.
·
2'li bir işlem (veya ikili işlem), genellikle
bağımsız değişkenleri arasına yerleştirilen bir sembolle gösterilir (aynı
zamanda x ∗ y gibi) (infix gösterimi de denir).
·
Daha yüksek veya belirtilmemiş nitelikteki
işlemler genellikle f(x,y,z) veya f(x1,...,xn) gibi
argümanların parantez içine yerleştirildiği ve virgüllerle ayrıldığı fonksiyon
sembolleriyle gösterilir.
·
halde bir cebir hakkında konuşmanın bir yolu,
ona belirli bir türde cebir olarak atıfta bulunmaktır; burada, cebirin
işlemlerinin niteliğini temsil eden doğal sayıların sıralı bir dizisidir.
·
Bununla birlikte, bazı araştırmacılar, tam
kafeslerin cebirsel teorisindeki bir işlem olan J'nin sonsuz bir indeks kümesi
olduğu gibi sonsuz işlemlere de izin verir.
Denklemler
İşlemler belirlendikten sonra cebirin doğası, evrensel cebirde
sıklıkla özdeşlikler veya denklem yasaları biçimini alan aksiyomlarla daha da
tanımlanır. Buna bir örnek, x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗
z denklemiyle verilen, ikili bir işlem
için ilişkisel aksiyomdur. Aksiyomun A kümesinin tüm x, y
ve z elemanları için geçerli olması amaçlanmaktadır.
https://en.wikipedia.org/wiki/Universal_algebra
21 Ocak 2024
GERİ (matematik anasayfa)
