Euler Eşitlikleri, Rijit Madde Dinamiği
(Euler's equations, rigid body dynamics)

Klasik mekanikte, Euler dönme denklemleri, madde (body) üzerine sabitlenmiş ve maddenin ana atalet eksenlerine paralel dönen bir referans çerçevesi kullanarak sert bir maddenin dönmesini tanımlayan vektöryel bir kuasiliner birinci mertebeden diferansiyel denklemlerdir. Genel biçimleri:
Iw· + w x (Iw) = M
M: uygulanan tork, I: atalet matrisi, ω: ana eksenlere göre açısal hızdır. Üç-boyutlu temel ortogonal koordinatlarda aşağıdaki eşitlikler yazılır:
I1w·1 + (I3I2) w2 w3 = M1
I1w·2 + (I1I3) w3 w1 = M2
I1w·3 + (I2I1) w1 w2 = M3
Mk: uygulanan torkun bileşenleri, Ik: temel atalet momentler, ωk: ana eksenlere göre açısal hız bileşenleridir.

Motivasyon ve derivasyon
Newton'un ikinci yasasından başlayarak bir ‘atalet referans çerçevesinde açısal momentum L'nin zaman türevi uygulanan torka eşittir.
 dLin       d
¾¾  = ¾¾ (Iin w ) = Min
  dt        dt
burada, Iin: atalet referans çerçevesinde’ hesaplanan eylemsizlik tensörü momentidir. Her ne kadar bu yasa evrensel olarak geçerli olsa da, genel olarak dönen bir sert cismin hareketini çözmede her zaman yararlı değildir, çünkü hem Iin hem de w hareket sırasında değişebilir.

Bu nedenle, dönen maddeye (cisme) sabitlenmiş koordinat çerçevesi değiştirilebilir, ve eksenleri eylemsizlik tensörü momentinin ana eksenleriyle aynı hizada olacak şekilde seçilebilir. Bu çerçevede, en azından atalet momenti momenti sabittir; bu da hesaplamaları basitleştirir. Atalet momentinde tarif edildiği gibi, açısal momentum L şöyle yazılabilir:
                                      def
L = L1e1 + L2e2 + L3e3  =  I1 ω1e1 + I2 ω2e2 + I3 ω3 e3
Mk: uygulanan torkun bileşenleri, Ik: temel atalet momentler, ωk: ana eksenlere göre açısal hız bileşenleridir.

Dönen bir referans çerçevede zaman türevi aşağıdaki eşitlikle değiştirilmelidir.
  dL
(¾¾)rot + w x L = M
  dt
‘rot’ alt indis, dönen referans çerçevede olduğunu gösterir. Dönen ve atalet çerçevelerindeki tork:
Min = QM
Burada, Q: dönme tensörüdür (dönme matrisi değil); açısal hız vektörüyle:
ω x v = Q Q-1 v
v: herhangi bir vektör

Genellikle L = Iω eşitliği kullanılarak Euler denklemleri genel vektör formu elde edilir.
I w· + w x (I) = M
Ana eksen dönüyorsa,
Lk = Ik  wk
Euler denklemi bulunur.

https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_equations_(rigid_body_dynamics)

12 Ağustos 2019



GERİ (yasalar)
GERİ (klasik mekanik)