Klasik mekanikte, Euler dönme
denklemleri, madde (body) üzerine sabitlenmiş ve maddenin ana atalet
eksenlerine paralel dönen bir referans çerçevesi kullanarak sert bir maddenin
dönmesini tanımlayan vektöryel bir kuasiliner birinci mertebeden diferansiyel
denklemlerdir. Genel biçimleri:
Iw· + w x (Iw) = M
M: uygulanan tork, I: atalet
matrisi, ω: ana eksenlere göre açısal hızdır. Üç-boyutlu temel ortogonal
koordinatlarda aşağıdaki eşitlikler yazılır:
I1w·1 + (I3 – I2)
w2 w3 = M1
I1w·2 + (I1 – I3)
w3 w1 = M2
I1w·3 + (I2 – I1)
w1 w2 = M3
Mk:
uygulanan torkun bileşenleri, Ik: temel atalet
momentler, ωk: ana eksenlere göre açısal hız bileşenleridir.
Motivasyon ve derivasyon
Motivasyon ve derivasyon
Newton'un ikinci
yasasından başlayarak bir ‘atalet referans çerçevesinde’ açısal momentum
L'nin zaman türevi uygulanan torka
eşittir.
dLin d
¾¾ = ¾¾ (Iin w ) = Min
dt dt
burada, Iin: atalet
referans çerçevesinde’ hesaplanan eylemsizlik tensörü momentidir. Her ne kadar
bu yasa evrensel olarak geçerli olsa da, genel olarak dönen bir sert cismin
hareketini çözmede her zaman yararlı değildir, çünkü hem Iin hem de w hareket
sırasında değişebilir.
Bu nedenle, dönen maddeye (cisme) sabitlenmiş koordinat çerçevesi değiştirilebilir, ve eksenleri eylemsizlik tensörü momentinin ana eksenleriyle aynı hizada olacak şekilde seçilebilir. Bu çerçevede, en azından atalet momenti momenti sabittir; bu da hesaplamaları basitleştirir. Atalet momentinde tarif edildiği gibi, açısal momentum L şöyle yazılabilir:
Bu nedenle, dönen maddeye (cisme) sabitlenmiş koordinat çerçevesi değiştirilebilir, ve eksenleri eylemsizlik tensörü momentinin ana eksenleriyle aynı hizada olacak şekilde seçilebilir. Bu çerçevede, en azından atalet momenti momenti sabittir; bu da hesaplamaları basitleştirir. Atalet momentinde tarif edildiği gibi, açısal momentum L şöyle yazılabilir:
def
L = L1e1
+ L2e2 + L3e3 = I1 ω1e1
+ I2 ω2e2
+ I3 ω3 e3
Mk:
uygulanan torkun bileşenleri, Ik: temel atalet
momentler, ωk: ana eksenlere göre açısal hız bileşenleridir.
Dönen bir referans çerçevede zaman türevi aşağıdaki eşitlikle değiştirilmelidir.
Dönen bir referans çerçevede zaman türevi aşağıdaki eşitlikle değiştirilmelidir.
dL
(¾¾)rot + w x L = M
dt
‘rot’ alt indis, dönen referans
çerçevede olduğunu gösterir. Dönen ve atalet çerçevelerindeki tork:
Min = QM
Burada, Q: dönme tensörüdür (dönme matrisi değil); açısal
hız vektörüyle:
ω x v = Q Q-1 v
v: herhangi bir vektör
Genellikle L = Iω eşitliği kullanılarak Euler denklemleri genel vektör formu elde edilir.
Genellikle L = Iω eşitliği kullanılarak Euler denklemleri genel vektör formu elde edilir.
I w· + w x (I) = M
Ana eksen dönüyorsa,
Lk = Ik wk
Euler denklemi bulunur.