En az eylem prensibi (veya minimum eylem prensibi de denir),
mekanik sistemlerdeki eylem kavramından hareket denklemlerinin bulunması
esasına dayanır. Görelilik teorisinde, göreli etkiler fiziksel olarak dahil
oldukları için, klasik mekanik sistemlere göre farklı eylem fonksiyonları
tanımlanmalıdır. Bu prensip, Newton, Lagrange ve Hamilton ve görelilik
prensiplerini ve onlardan çıkartılan hareket denklemlerini türetmek için
kullanılır.
“En az” kavramı çözümlerde iki nokta arasındaki yollardan;
çevre yollara göre değişimin en az olduğu yolu bulma problemi irdelendiği için
kullanılır. Bu prensibin klasik mekanik ve elektromagnetik prensipleri kuantum
mekaniğinin en az eylem ilkesinin sonuçlarına dayanır. En az eylem ilkesi ve
varyasyon prensipleri, kuantum mekaniğini de geliştirmiş olan doğanın en
kapsamlı temel davranış yasalarını içerir.
Bu prensip modern fiziğin ve matematiğin merkezinde yer
almış ve görelilik teorisi, kuantum mekaniği ve kuantum alan teorisi gibi genel
alanlarda etkin olarak kullanılmıştır. Ayrıca modern matematikte Morse teorisi
ile ilişkili çalışmıştır. Maupertuis prensibi ve Hamilton prensibi de daha
genel olan en az eylem ilkesinin birer alt örnekleridir.
Eylem (S), Lagrange mekaniğinin (L) iki an arasındaki zamana
göre integraline verilen isimdir. Teknik olarak eylem, fonksiyonların
fonksiyonu yani bir fonksiyoneldir ve N tane genelleştirilmiş q koordinatına
bağlıdır,
q
= (q1, q2 ... qN) sistemin konfigürasyon uzayını
tanımlar.
q : R ¾® RN
t2
S [q, t1, t2]
= ∫ L (q(t), q· (t), t) dt
t1
Nokta (·) zaman türevi, t
zamandır. Matematiksel olarak,
δ S = 0
Burada δ küçük bir değişikliği gösterir; eşitlik şöyle ifade edilir:
Sistem tarafından t1 ve t2 zamanları ile q1
ve q2 konfigürasyonları arasında alılan yol, hareketin birinci
dereceye kadar sabit (değişiklik yok) olduğu yoldur.
Uygulamalarda eylemin açıklaması ve tanımı birlikte gösterilir:
t2
δ ∫ L (q, q·,
t) dt = 0
t1
Eylem ve Lagrangiyen her zaman için sistemin dinamiklerini
içerir. "Yol" terimi, basitçe, sistem tarafından konfigürasyon
alanındaki koordinatlar açısından izlenen bir eğriyi, yani zamana göre
parametrelendirilen q (t) eğrisini ifade eder.
Sistem geliştikçe, q
konfigürasyon alanı boyunca bir yol izler (sadece bazıları gösterilmiştir); sistemin
(kırmızı) aldığı yol, konfigürasyonundaki (δq) küçük değişiklikler altında durağan (sabit) bir harekete (δS =
0) sahiptir.
En Az Eylem İlkesinin
Ortaya Çıkışı
Fermat: 1600’lerde
Pierre de Fermat, ışığın iki nokta arasında gideceği zaman; en az sürede bu işi
yapacağını öne sürmüştü. Buna en az zaman ilkesi veya Fermat Prensibi de denir.
Maupertuis: En az
eylem ilkesi tam olarak Pierre Louis Maupertuis tarafından tanımlanmıştır.
Maupertuis doğanın herhangi bir olay sırasında tutumlu davrandığını düşünmüş ve
bu düşüncesini genelleştirmiştir:
Hareket yasaları ve ondan türetilenler veya başka şekilde gözlenenler
esasında doğanın aynı esaslarına dayanır. Hayvanların hareketlerini, bitkilerin
büyümelerini gözlemlediğimizde hepsi en az eylem ihtiyacının bir sonucudur.
Maupertuis prensibi:
δ ∫
2 T(t) dt = 0
Bu, kinetik enerji ve zamanın çarpımının iki kere integrale
alınmasından ibarettir.
Euler: Leonhard
Eulerise’in 1744'te tanımladığı formülasyona göre:
M kütleli bir parçacığın v hızı ile diferansiyel ds uzaklığı boyunca
gittiğini düşünelim. Kütle, Mv kadar bir çizgisel momentuma sahip olacaktır. Momentum,
ds uzaklığı ile çarpıldığında Mv ds ifadesini verir. Bu momentum ds boyunca
integre edilebilir. Elde edilen eğri aynı yer değiştirme noktaları için birden
çok ihtimal verebilir ama prensibe göre bu eğrilerden birinin diğerlerine göre
değişimi minimum olmalıdır ve burada minimize edilmesi istenen nicelik
Mv ds’dir:
∫ M v ds
Veya, M'nin yol boyunca sabit olmasını gerektirir:
M ∫
v ds
Euler prensibi:
δ ∫
p dq = 0
Euler denk ama bağımsız bir tanım yapmış ve varyasyon
prensibini Maupertuis ile aynı yıllarda tanımlamıştır.
Daha sonraki yıllarda Lagrange ve Hamilton, Jacobi ve Morse,
Gauss ve Hertz konuyla ilgili çalışmalar yapmış, prensipler ve formüller
geliştirmiştir. Richard Feynman’a göre, en az eylem ilkesi matematiksel olarak
Newton’un 2. Yasasından daha spesifik ve çok daha kapsamlıdır.
9 Ağustos 2019
GERİ (yasalar)
GERİ (astrofizik)
GERİ (klasik
mekanik)
