Matematikte diferansiyel denklem, bir veya daha fazla bilinmeyen fonksiyonu ve bunların türevlerini ilişkilendiren bir denklemdir. Uygulamalarda, fonksiyonlar genellikle fiziksel büyüklükleri temsil eder, türevler değişim oranlarını temsil eder; diferansiyel denklem ise, ikisi arasındaki ilişkiyi tanımlar. Bu tür ilişkiler yaygındır; bu nedenle diferansiyel denklemler, mühendislik, fizik, ekonomi ve biyoloji dahil olmak üzere birçok disiplinde önemli bir rol oynar.
Diferansiyel denklemlerin incelenmesi esas olarak çözümlerinin (her
denklemi karşılayan fonksiyonlar kümesi) ve çözümlerinin özelliklerinin
incelenmesinden oluşur. Sadece en basit diferansiyel denklemler açık
formüllerle çözülebilir; ancak belirli bir diferansiyel denklemin çözümlerinin
birçok özelliği, tam olarak hesaplanmadan belirlenebilir.
Çoğunlukla çözümler için kapalı formda bir ifade mevcut olmadığında,
çözümlere bilgisayarlar kullanılarak sayısal olarak yaklaşılabilir. Dinamik
sistemler teorisi, diferansiyel denklemlerle tanımlanan sistemlerin nitel
analizine vurgu yaparken, belirli bir doğruluk derecesine sahip çözümleri
belirlemek için birçok sayısal yöntem geliştirilmiştir.
Tipler
Diferansiyel denklemler çeşitli tiplere ayrılabilir. Denklemin
özelliklerini tanımlamanın yanı sıra, bu diferansiyel denklem sınıfları, çözüme
yönelik yaklaşım seçiminin belirlenmesine yardımcı olabilir. Yaygın olarak
kullanılan ayrımlar arasında denklemin sıradan veya kısmi, doğrusal veya
doğrusal olmayan, homojen veya heterojen olup olmadığı yer alır. Burada verilen
liste kapsamlı olmaktan uzaktır; diferansiyel denklemlerin belirli bağlamlarda
çok yararlı olabilecek birçok başka özelliği ve alt sınıfı vardır.
Örnekler
İlk örnek grubunda u, x'in bilinmeyen bir fonksiyonudur ve c ve ω
bilindiği varsayılan sabitlerdir. Hem adi hem de kısmi diferansiyel
denklemlerin iki geniş sınıflandırması, lineer ve lineer olmayan diferansiyel
denklemler ile homojen diferansiyel denklemler ile heterojen olanlar arasındaki
ayrımdan oluşur.
- Heterojen birinci-dereceden
lineer sabit katsayılı sıradan diferansiyel denklem:
- Homojen ikinci-dereceden
lineer sıradan diferansiyel denklem:
- Harmonik osilatörü
tanımlayan homojen ikinci-dereceden lineer sabit katsayılı sıradan
diferansiyel denklem:
- Heterojen birinci-dereceden
non-lineer (doğrusal olmayan) sıradan diferansiyel denklem:
- İkinci-dereceden non-lineer (sinüs fonksiyonundan
dolayı) L uzunluğundaki bir sarkacın hareketini tanımlayan sıradan diferansiyel
denklem:
Bir sonraki örnek grubunda,
bilinmeyen fonksiyon u, iki x ve t veya x ve y değişkenine bağlıdır.
- Homojen birinci-dereceden lineer kısmi diferansiyel
denklem:
- Eliptik tipte homojen ikinci-dereceden lineer sabit
katsayılı kısmi diferansiyel denklem, Laplace denklemi:
- Homojen üçüncü-dereceden non-lineer kısmi
diferansiyel denklem, KdV (Korteweg–De Vries) denklemi:
https://en.wikipedia.org/wiki/Differential_equation
19 Aralık 2023
GERİ (matematik anasayfa)
