Cebirsel Topoloji (algebraic topology)

Cebirsel topoloji, topolojik uzayları incelemek için soyut cebir araçlarını kullanan bir matematik dalıdır. Temel amaç, topolojik uzayları homeomorfizme kadar sınıflandıran cebirsel değişmezleri bulmaktır, ancak genellikle çoğu homotopi eşdeğerliğine kadar sınıflandırma yapar.

Cebirsel topoloji öncelikle cebiri topolojik problemleri incelemek için kullansa da, topolojiyi cebirsel problemleri çözmek için kullanmak da bazen mümkündür. Örneğin cebirsel topoloji, serbest bir grubun herhangi bir alt grubunun yine serbest grup olduğunun uygun bir şekilde kanıtlanmasına olanak tanır.

Ana dallar: Topolojide incelenen ana alanlardan bazıları:

·         Homotopi grupları: Matematikte homotopi grupları cebirsel topolojide topolojik uzayları sınıflandırmak için kullanılır. İlk ve en basit homotopi grubu, uzaydaki döngüler hakkındaki bilgileri kaydeden temel gruptur.

·         Homoloji: Cebirsel topoloji ve soyut cebirde homoloji, değişmeli grupların veya modüllerin bir dizisini topolojik uzay veya grup gibi belirli bir matematiksel nesneyle ilişkilendirmeye yönelik belirli bir genel prosedürdür.

·         Kohomoloji: Homoloji teorisinde ve cebirsel topolojide kohomoloji (eşbenzeti), bir ‘cochain (eşzincir)’ kompleksinden tanımlanan değişmeli grup dizisi için genel bir terimdir. Yani kohomoloji, eşzincirlerin, eşçevrimlerin ve eşsınırların soyut çalışması olarak tanımlanır.

·         Manifoldlar: Manifold, her noktanın yakınında Öklid uzayına benzeyen topolojik bir uzaydır. Örnekler arasında hepsi üç boyutta gerçekleştirilebilen düzlem, küre ve torusun yanı sıra Klein şişesi ve üç boyuta yerleştirilemeyen ancak dört boyuta gömülebilen gerçek yansıtmalı düzlem yer alır.

·         Düğüm teorisi: Düğüm teorisi matematiksel düğümlerin incelenmesidir. Kesin matematik dilinde düğüm, bir dairenin üç boyutlu Öklid uzayı R³'e yerleştirilmesidir.

·         Kompleksler: Basit bir kompleks, noktaların, doğru parçalarının, üçgenlerin ve bunların n boyutlu karşılıklarının ‘birbirine yapıştırılmasıyla’ oluşturulan belirli türden bir topolojik uzaydır). CW kompleksi, J. H. C. Whitehead tarafından homotopi teorisinin ihtiyaçlarını karşılamak için tanıtılan bir tür topolojik uzaydır.

(a) Cebirsel topolojide en sık incelenen objelerden biri olan torus (simit), (b) 2 boyutlu torusun birinci kohomoloji grubu, gösterilen iki dairenin sınıfları tarafından verilen bir temele sahiptir, (c) çemberin bir noktası dışındaki tüm noktalarını kapsayan, eğime dayalı bir daire manifold grafiği, (d) basit düğümün diagramı

 

https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_topology

6 Ocak 2024

 

GERİ (matematik anasayfa)