Matematikte bir Casimir elementi (Casimir değişmezi veya Casimir operatörü olarak da bilinir), bir Lie cebirinin evrensel zarflama cebiri merkezinin seçkin bir elementidir. Prototip bir örnek, üç boyutlu döndürme grubunun Casimir elementi olan kare açısal momentum operatörüdür.
Casimir elementi adını, 1931'deki ‘rigid body dinamiğinin açıklaması’nda
tanımlayan Hendrik Casimir'den almıştır.
En yaygın kullanılan Casimir operatörü, kuadratik
değişmezdir. Tanımlanması en basit olanıdır. Bununla birlikte, daha yüksek
dereceden homojen simetrik polinomlara karşılık gelen daha yüksek dereceden
Casimir değişmezleri de olabilir.
Genel durum
Evrensel zarflama cebirleri ile ilgili yayımlar Casimir
operatörlerinin ayrıntılı ve kesin tanımını ve bazı özelliklerinin açıklamasını
verir. Özellikle, tüm Casimir operatörleri, adg eş tanımının
simetrik cebirinde simetrik homojen polinomlara karşılık gelir. Yani, genel
olarak, herhangi bir Casimir operatörünün aşağıdaki forma sahip olacağıdır:
C(m) = kij k Xi ⊗ Xj ⊗…⊗ Xk
m, simetrik tensör kij k
‘nın seviyesini, ve Xi, g'nin vektör uzayı temelini oluşturur. Bu,
simetrik homojen bir polinoma karşılık gelir:
c(m) = kij k ti tj …tk
m indeterminat değişkenlerde ti polinom cebirinde
bir K alanı üzerinde k[ti, tj,…, tk].
Simetrinin nedeni PBW teoreminden gelir ve evrensel zarflama cebiri hakkındaki yayımda
çok daha ayrıntılı olarak tartışılmıştır.
Placzek'in polarize edilebilirlik yaklaşımını kullanarak ve
sıfır elektronik açısal momentuma sahip doğrusal bir molekül dikkate
alındığında, integrasyon, aşağıdaki eşitliği verir:
Hetk.(t) = BJ2
– ½ e2(t) [(aII – a^) cos2q + a^]
J2: kare açısal momentum operatörü, B: dönme
sabiti, u: moleküler eksen ve alanın yönü arasındaki polar açı, aII
ve a^:
moleküler eksene paralel ve dik olan statik polarize edilebilirliğin
bileşenleridir.
13 Aralık 2020
