Aritmetik Geometri (arithmetic geometry)

Matematikte aritmetik geometri, kabaca cebirsel geometriden, sayı teorisindeki problemlere kadar tekniklerin uygulanmasıdır. Aritmetik geometri, cebirsel çeşitlerin rasyonel noktalarının incelenmesi olan Diophantine geometrisi etrafında yoğunlaşmıştır.

Daha soyut bir ifadeyle aritmetik geometri, tamsayılar halkasının spektrumu üzerinde sonlu tipteki şemaların incelenmesi olarak tanımlanabilir.

Aritmetik geometride ilgi duyulan klasik objeler rasyonel noktalardır; sayı alanları, sonlu alanlar, p-adik alanlar veya fonksiyon alanları, yani gerçek sayılar hariç cebirsel olarak kapalı olmayan alanlar üzerindeki bir polinom denklemler sisteminin çözüm kümeleri. Rasyonel noktalar, aritmetik karmaşıklıklarını ölçen yükseklik fonksiyonlarıyla doğrudan karakterize edilebilir.

Cebirsel olmayan kapalı alanlar üzerinde tanımlanan cebirsel çeşitlerin yapısı, cebirsel geometrinin modern soyut gelişimiyle ortaya çıkan merkezi bir ilgi alanı haline geldi. Sonlu alanlar üzerinde, étale kohomolojisi cebirsel çeşitlerle ilişkili topolojik değişmezleri sağlar. p-adic Hodge teorisi, karmaşık sayılar üzerindeki çeşitlerin kohomolojik özelliklerinin p-adik alanlar üzerindekilere uzandığını incelemek için araçlar sağlar.


(a) y2 = x(x + 1)(x – 3)(x + 2)(x – 2) ile tanımlanan hipereliptik eğri Faltings teoremine göre yalnızca sonlu sayıda rasyonel noktaya sahiptir;(-2,0) ve (-1,0) noktaları gibi, (b) cebirsel geometri, aritmetik geometri, cebirsel sayılar teorisi} arasındaki örtüşmeleri gösteren tipik bir grafik (ref: mathoverflow.net/), (c) rasyonel sayılar, tam sayılar ve bütün sayılar (cuemath)

 

https://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic_geometry

22 Ocak 2024

 

GERİ (matematik anasayfa)