Analitik Sayı Teorisi (analytic number theory)

Matematikte analitik sayı teorisi, tam sayılarla ilgili problemleri çözmek için matematiksel analiz yöntemlerini kullanan sayı teorisinin bir dalıdır. Dirichlet'in aritmetik ilerlemelerle ilgili teoreminin ilk kanıtını vermek için Peter Gustav Lejeune Dirichlet'in 1837'de Dirichlet L fonksiyonlarını tanıtmasıyla başladığı söylenir. Asal sayılar (Asal Sayı Teoremi ve Riemann zeta fonksiyonunu içeren) ve toplamsal sayı teorisi (Goldbach varsayımı ve Waring problemi gibi) üzerine sonuçlarıyla iyi bilinmektedir.

Analitik sayı teorisinin dalları

Analitik sayı teorisi, teknikteki temel farklılıklardan çok, çözmeye çalışılan problemlerin türüne göre iki ana bölüme ayrılabilir.

  • Çarpımlı sayı teorisi, bir aralıktaki asal sayıların tahmin edilmesi gibi, asal sayıların dağılımıyla ilgilenir, aritmetik ilerlemelerdeki asal sayılar teoremini ve Dirichlet teoremini içerir.
  • Toplamsal sayı teorisi, Goldbach'ın 2'den büyük her çift sayının iki asal sayının toplamı olduğu varsayımı gibi, tam sayıların toplamsal yapısıyla ilgilidir. Toplama sayıları teorisinin ana sonuçlarından biri Waring probleminin çözümüdür.

Kompozit sayılar
dikdörtgenler halinde
düzenlenebilir,
ancak asal sayılar
düzenlenemez (Wiki)
Analitik sayı teorisinin yöntemleri 

Çarpımlı sayı teorisindeki en kullanışlı araçlardan biri, sonsuz bir form serisiyle tanımlanan karmaşık bir değişkenin fonksiyonları olan Dirichlet serileridir. 

                       

Riemann zeta fonksiyonu : Euler, aritmetiğin temel teoreminin (en azından resmi olarak) Euler çarpımını ima ettiğini gösterdi.

Daha sonra Riemann, bu fonksiyonu s'nin karmaşık değerleri için değerlendirdi ve bu fonksiyonun, s = 1'de basit bir kutupla tüm düzlemde meromorfik bir fonksiyona genişletilebileceğini gösterdi. Bu fonksiyon artık Riemann Zeta fonksiyonu olarak biliniyor ve şu şekilde gösteriliyor: ζ(ler). Bu fonksiyonla ilgili çok sayıda literatür vardır ve fonksiyon, daha genel Dirichlet L fonksiyonlarının özel bir durumudur.

 

https://en.wikipedia.org/wiki/Analytic_number_theory

21 Ocak 2024

 

GERİ (matematik anasayfa)